Любая помощь студенту и школьнику!


Жми! Коллекция готовых работ

Главная | Мой профиль | Выход | RSS

Поиск

Мини-чат

Статистика


Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0

Форма входа

Логин:
Пароль:

Курсовая работа по дисциплине: «Геометрия и алгебра» на тему: «Элементы общей топологии»

Курсовая работа по дисциплине: «Геометрия и алгебра» на тему: «Элементы общей топологии» (500 руб.)

СОДЕРЖАНИЕ 

Введение ……………………………………………………………………...3

Глава I. Элементы общей топологии ……………………………………….4

§ 1. Понятие топологического пространства …………………………..4

1.1. Понятие метрического пространства …………………………..4

1. 2. Примеры метрических пространств …………………………...4

1. 3. Определение и примеры топологических пространств ...……6

§ 2. Свойства топологических пространств ……………………………8

     2. 1. Понятие подпространства ………………………………………8

           2. 2. Замкнутые множества. Внутренние, внешние и граничные

                   точки ……………………………………………………………..9

     2. 3. Базис и отделимость топологического пространства ……….12

           2. 4. Компактность топологических пространств …………………14

     2. 5. Связность топологических  пространств …………………….16       

§ 3.Топологические преобразования  топологических пространств ..18

     3. 1. Непрерывные преобразования ………………………………...18

     3. 2. Топологические отображения ………………………………....21

     3. 3.  Примеры гомеоморфных пространств и гомеоморфизмов….22

Глава II. Топологические свойства поверхностей …………………………23

§ 1. Понятие двумерного многообразия ………………………………..23

1. 1. Определение двумерного многообразия ………………………23

1. 2. Примеры поверхностей, полученных склеиванием …………..26

§ 2. Эйлерова характеристика поверхности ……………………………28

     2. 1. Правильные многогранники. Теорема Эйлера ………………...28

     2. 2. Понятие сети ……………………………………………………..29

§ 3. Ориентируемые и неориентируемые  поверхности ……………….32

    3. 1. Определение ориентируемых и неориентируемых поверхностей. 

            Примеры …………………………………………………………..32

    3. 2. Классификация замкнутых поверхностей ……………………...35

Заключение…………………………………………………………………….37

Список использованной литературы ………………………………………..38        

ВВЕДЕНИЕ 

      Топология- одна из самых молодых ветвей геометрии. Топология является одним из самых абстрактных разделов современной математики. Примерно за сто лет её существования в ней достигнуты результаты, важные для многих разделов математики.

       Топология ( от греческого «τοποξ» - место, окрестность, «λογοξ» - закон) – раздел математики, изучающий идеи непрерывности. В топологии впервые даются строгие определения таких фундаментальных понятий геометрии, как линия и поверхность. Предметом топологии являются свойства фигур, сохраняющиеся при гомеоморфизмах, то есть взаимно однозначных и непрерывных в обе стороны отображениях. Топология, как наука возникла из потребностей связанных с математическим анализом. Эта наука, хотя и считается молодой, на самом деле известна уже давно, именно благодаря тесным связям с математическим анализом. Идеи топологии идут от работ таких крупных математиков 19 в. как Риммман, Пуанкаре, Кантор, Эйлер. Развитие топологии идёт бурными темпами и в большом числе направлений, этот процесс не окончен в настоящее время, хотя ряд крупных проблем, стоящих перед топологией, успешно решен. Топологические методы стали мощным инструментом математического исследования. Топологический подход позволяет упростить многие доказательства фундаментальных теорем классической математики и обобщить эти теоремы на более широкие классы пространств.

Геометрия школьного курса имеет дело в основном со свойствами фигур, связанными с понятиями длины, площади, объема – то есть метрическими свойствами фигур. Лишь очень немногие теоремы и задачи школьного курса геометрии рассматривают свойства иного характера. Топология как раз и является разделом геометрии, изучающим свойства фигур, которые могут быть установлены без измерения и сравнения величин,  но при этом имеющие геометрический смысл.  

Целью первой главы курсовой работы было рассмотреть основные элементы общей топологии.

Задачи:

·        дать определение топологического пространства;

·        рассмотреть свойства топологических пространств;

·        охарактеризовать топологические преобразования.

      Во второй главе работы мы попытались рассмотреть топологические свойства поверхностей. Были поставлены следующие задачи:

·        дать определение двумерного многообразия;

·        рассмотреть эйлерову характеристику поверхности;

·        охарактеризовать ориентируемые и неориентируемые поверхности.     

 

Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ 

§ 1. Понятие топологического пространства 

1.1. Понятие метрического пространства

 

Определение 1. Декартово произведение множеств  А и В определяется как множество всех упорядоченных пар (х, у), где хÎА, уÎВ, то есть

А´В = {(х, у)| хÎА, уÎВ}.

В частности, возможно А = В.

Определение 2. Говорят, что в множестве Х задана метрика r, если определено отображение

r: Х ´ Х  ® R,

удовлетворяющее  следующим аксиомам:

1. " х, у Î Х { r (х, у) ³ 0}, причем  r (х, у)  = 0 Û х = у.

2. " х, у Î Х { r (х, у)   =  r (у, х)}.

3. " х, у, z Î Х { r (х, у)  +  r (у, z³  r (х, z)}.

Условия 1, 2, 3  называются аксиомами метрики, при этом условие 2 называется аксиомой симметрии, а  3 – аксиомой треугольника.

Определение 3. Множество Х с заданной на нем метрикой r называется метрическим пространством и обозначается ( Х, r).

В тех случаях, когда ясно, о какой метрике идет речь, метрическое пространство  ( Х,r) обозначают просто Х.

Число r(х, у)  называют расстоянием между точками х и у  в пространстве Х.

 

1. 2. Примеры метрических пространств

 

Пример 1.Определим для элементов произвольного непустого множества Х расстояние следующим образом:

r(х, у) =.

Очевидно, аксиомы 1 – 3 выполняются, а, следовательно, ( Х, r) - метрическое пространство.

       Пример 2. Множество действительных чисел R с расстоянием

r(х, у) = (у – х)2  не является метрическим пространством.

Действительно не выполняется третья аксиома. Например, для трех точек 2, 3 и 4 получим:

r(2, 3) = (3 – 2)2 = 1,             r(3, 4) = (4 – 3)2 = 1,

r(2, 4) = (4 – 2)2 = 4   и    r(2, 3) + r(3, 4)  < r(2, 4).

 

         Определение 1.  Пусть (Х, r) – метрическое пространство, х0 Î Х,    

r > 0 - действительное число. Назовём открытым шаром с центром в точке х0 и радиусом r множество

 

U (x0, r) = {x | x Î X, r (x, x0) < r }.

 Определение 2. Подмножество G Ì Х будем называть открытым в

 (Х, r), если любая его точка является центром некоторого открытого шара, содержащегося в G.

Пустое множество Æ также считаем открытым множеством.

Определение 3. Окрестностью точки А метрического пространства будем называть любое открытое множество, содержащее эту точку.

Обозначим совокупность всех открытых множеств в  (Х, r) просто Фr.

Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема .  1) Объединение любой совокупности { Ga} множеств из Фr принадлежит Фr.

G Î Фr.

2) Пересечение любых двух множеств G1 и G2 из Фr принадлежит Фr.  

G1 ÇG2 Î Фr.

3) Метрическое пространство Х - открытое множество,  то есть

Х Î Фr , Æ Î Фr.

Доказательство.  1) Пусть . Обозначим

G = .

Возьмём произвольную точку х0 Î G. Тогда существует такое a0, что    х0 Î , и так как   Î Фr, то найдётся число r0, что

U (х0, r0 ) Ì .

Так как G0 Ì G , то U (х0, r0 ) Ì G.

Итак, G - открытое множество.

2) Пусть  G = G1 Ç G2 ,  где  G1, G2  Π Фr  и  G   Æ.

Если   х0 Î G, то  х0 Î G1    и    х0 Î G2.

Тогда существуют такие радиусы r1 и  r2 , что

U(х0, r1)  Ì  G1,     U(х0, r2)  Ì  G2.

Обозначим r = min {r1, r2}, тогда

U (х0, r)  Ì  G1 Ç G2 = G.

Итак,  G – открытое   множество.

3. Так как всегда можно представить

Х = ,

где Ua - открытый шар радиуса r, с центром в точке , объединение рассматривается по всем точкам пространства, то в силу 1 получим, что  пространство Х – открыто.  Пустое множество мы предполагаем всегда открытым. 

В дальнейшем описанное нами семейство  Фr всех открытых множеств в метрическом пространстве (Х, r)  будем называть топологией, индуцированной метрикой r  в Х ..

 

1. 3. Определение и примеры топологических пространств 

Многие понятия теории метрических пространств (предел, предельная точка, точка прикосновения, замыкание множества, граница множества, непрерывность и т. д.) вводятся, опираясь на понятие окрестности или, что тоже самое, на понятие открытого множества. Понятие окрестность и открытое множество определяются с помощью метрики.

Свойства открытых множеств метрического пространства принимаются в качестве аксиом. Этот путь приводит нас к топологическим пространствам, по отношению к которым метрические пространства представляют собой частный случай.

Определение 1. Пусть  Х – непустое множество элементов произвольной природы,  Ф = {} –  семейство подмножеств множества Х, удовлетворяющее следующим аксиомам:

1. Само множество Х и пустое множество Æ принадлежат семейству Ф.

2. Объединение любого семейства множеств из Ф также принадлежит Ф.

3. Пересечение любых двух множеств из Ф также принадлежит Ф.

Тогда семейство Ф называется топологией или топологической структурой.

 Пара  (Х, Ф) или, другим словами, множество Х, в котором задана некоторая топология,  называется топологическим пространством.

Элементы множества Х называются точками топологического пространства, элементы семейства Ф  называются  открытыми множествами в (Х, Ф).

Когда не может возникнуть недоразумений, разрешается просто писать: Х – топологическое пространство, G – открытое множество, то есть не указывать постоянно связь с топологией Ф.


Нужен полный текст этой работы? Напиши заявку cendomzn@yandex.ru

Календарь

«  Ноябрь 2020  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
      1
2345678
9101112131415
16171819202122
23242526272829
30

Рекомендуем:

  • Центральный Дом Знаний
  • Биржа нового фриланса