Любая помощь студенту и школьнику!


Жми! Коллекция готовых работ

Главная | Мой профиль | Выход | RSS

Поиск

Мини-чат

Статистика


Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0

Форма входа

Логин:
Пароль:

Ульяновский государственный педагогический университет имени И.Н. Ульянова. Курсовая работа на тему




Ульяновский государственный педагогический университет имени И.Н. Ульянова

Курсовая работа на тему "Приложение определенного интеграла в геометрии, физике, экономике" (500 руб.)

СОДЕРЖАНИЕ

Введение. 3

Историческая справка. 6

Глава 1. Теоретические основы применения интегралов в геометрии, физике, экономике  22

1.1. Понятие неопределенного интеграла. 22

1.2. Методы интегрирования. 25

1.3. Определенный интеграл. 31

1.4. Приложения определенного интеграла. 36

Глава 2. Практические основы применения интегралов в геометрии, физике, экономике  43

2.1. Практическое приложение определенного интеграла в геометрии и физике  43

2.2. Использование определенного интеграла в экономике. 50

Заключение. 54

Список использованной литературы.. 56

На рисунке 2 приведена иллюстрация метода исчерпывания для нахождения площади фигуры более сложной формы. Здесь площадь фигуры находится как сумма площадей прямоугольников, на которые разбивается фигура. Чем больше прямоугольников, тем сумма их площадей ближе к действительной площади фигуры.

В такой форме метод исчерпывания хорошо вписывался в строго дедуктивное построение античной математики, однако имел несколько существенных недостатков. Во-первых, он был исключительно громоздким. Во-вторых, не было никакого общего метода для вычисления предельного значения A; Архимед, например, нередко выводил его из механических соображений или просто интуитивно угадывал. Наконец, этот метод не пригоден для нахождения площадей бесконечных фигур.

Сам Архимед высоко ценил результаты этих исследований. Согласно его желанию, на его могиле высечен шар, вписанный в цилиндр. Архимед показал, что объём такого шара равен двум третям объёма цилиндра. Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления, но потребовалось более полутора тысячи лет, прежде чем эти идеи нашли чёткое математическое выражение и были доведены до уровня исчисления.

Первые значительные попытки развития интеграционных методов Архимеда были предприняты в XVII в. одним из первых видных ученых, стремившихся к возрождению и развитию интеграционных методов, был ИКеплер.

1612 г. был для жителей австрийского города Линца, в котором жил тогда Кеплер, исключительно урожайным, особенно изобиловал виноград. Люди заготовляли винные бочки и хотели знать, как практически определять их объемы. Этот вопрос как раз и входил в круг идей, которыми интересовался Кеплер. Так родилась его «Новая стереометрия винных бочек», вышедшая в свет в 1615 г.

И. Кеплер вычислил площади плоских фигур и поверхностей и объемы тел, основываясь на идее разложения фигур и тел на бесконечное число бесконечно малых частей, которые он называл «тончайшими кружочками» или «частями крайне малой ширины»; из этих мельчайших частиц, суммированных им, он составляет фигуру, эквивалентную первоначальной, но площадь или объем которой ему известен.

Методы И. Кеплера в определении объемов тел вращения, были нестрогими. Многие ученые посвятили свои работы усовершенствованию оперативной стороны этого предприятия. Наибольшую известность приобрела геометрия неделимых, изобретенная И. Кавальери. Делом его жизни, имевшим наибольшее значение для развития математики, был метод неделимых.

Метод неделимых изобретен для определения размеров плоских фигур и тел. Как фигуры, так и тела представляются составленными их элементов, имеющих размерность на единицу меньше. Так, фигуры состоят из отрезков прямых, проведенных параллельно некой направляющей прямой, называемой регула. Этих воображаемых отрезков бесконечно много. Они заключены между двумя касательными, параллельными регуле. В геометрических телах неделимыми являются плоскости, параллельные некоторой плоскости. Их тоже бесконечно много; границами их совокупности служат две касательные плоскости, параллельные регуле.

Совокупность всех неделимых, вводимая И. Кавальери, по существу вводит понятие определенного интеграла. Совокупность геометрии неделимых можно сформулировать так: плоские фигуры и тела относятся друг к другу, как все их неделимые, взятые вместе; если неделимые находятся в одном и том же отношении друг к другу, то отношение площадей соответствующих фигур (или объемов тел) равно этому отношению.

И. Кавальери доказал теорему: Сумма квадратов неделимых параллелограмма втрое больше суммы квадратов неделимых треугольника, образованного в результате проведения диагонали.

Среди последователей И. Кавальери самыми видными учеными, подготавливавшими создание интегрального и дифференциального исчисления, были Дж. Валлис, П. Ферма, Б. Паскаль.

Методы Дж. Валлиса, изложенные в его «Арифметике бесконечных» (1655), развивались вслед за методом неделимых И. Кавальери. Дж. Валлик продвинулся значительно дальше И. Кавальери. При решении целого ряда геометрических задач Дж. Валлис по существу вычислял определенные интегралы от некоторых других алгебраических функций; у Дж. Валлиса также впервые встречается в четком виде арифметизированный предельный переход. При этом Дж. Валлис исходит уже не из примитивного понятия всех линий, а из суммы å f(х)iDхi. Он рассматривает площадь (определенный интеграл) как общий предел верхних и нижних интегральных сумм при описании и вписании ступенчатых фигур.

Вычислением интегралов от степеней хr, или, как говорили в то время, квадратурой «парабол» у = хr, где r – рациональное число, П. Ферма занимался еще в 1644 г. позже П. Ферма изложил общую теорию всех различных случаев.

Еще более четко понятие определенного интеграла выступает в трудах Б. Паскаля. все его усилия были направлены на уточнение метода неделимых. Попытка уточнения состоит в том, что он сумму всех неделимых понимал как сумму элементарных площадок, образуемых бесконечно близкими, одинаково отстоящими друг от друга ординатами, ограниченными отрезком оси абсцисс и кривой (то есть сумму вида åуdх). В ряде задач он вводил сумму всех синусов, определяя ее как сумму произведений ординат на элементы дуги (åуds), которая в случае окружности единичного радиуса оправдывает свое название (åsinjdj).

С основными достижениями математики XVII в. Г. Лейбниц познакомился в начале 70-х гг. XVII в., когда под вниманием голландского ученого Х. Гюйгенса изучил, кроме его работ, труды И. Кавальери, Дж. Валлиса, Б. Паскаля.


Нужен полный текст данного материала? Напиши заявку cendomzn@yandex.ru




Календарь

«  Ноябрь 2019  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
    123
45678910
11121314151617
18192021222324
252627282930

Архив записей

Рекомендуем:

  • Центральный Дом Знаний
  • Биржа нового фриланса