Дисциплина: «Математика»
Лабораторная работа №1 Приближенное вычисление определенного интеграла № 227353
Цена 150 р.
Вычислить интеграл
Часть 1. Ручной счет.
Находим значение интеграла методом трапеций, разбив интервал интегрирования на n = 5 частей.
Формула для вычислений:……….
Часть 2. Аналитическое решение.
Находим значение интеграла аналитически.
Часть 3. Находим решение с помощью программы MathCAD:
Численное решение
Часть 4. Составление программы на языке Паскаль.
Текст программы для вычисления данного интеграла:
program integral;
uses crt;
var
Вывод: Результаты, полученные аналитически, с помощью MathCAD, ручного счета и программы на Паскале совпали.
Самым точным методом определения интеграла является
Приложения:
Integral.mcd
Integral_07.pas
Выдержка из подобной работы:
….
Приближенное вычисление значений определенного интеграла
…..яется функция Лапласа
широко используемая в теории вероятностей для вычисления
вероятностей связанных с нормально распределенными случайными величинами.
Задача
численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения
интеграла:
от
непрерывной на отрезке [a b] функции .
Численные методы интегрирования применяются в случаях
когда не удается найти аналитическое выражение первообразной для функции либо если функция задана
таблично. Формулы численного интегрирования называются квадратурными формулами.
Пример:
Приближенное неравенство
где qj – некоторые числа xj – некоторые
точки отрезка [a b] называется квадратурной формулой определяемой весами
qj и узлами xj.
Говорят что квадратурная формула точна для многочленов
степени m если при замене на
произвольный алгебраический многочлен степени m приближенное равенство
становится точным.
Рассмотрим некоторые широко используемые примеры
приближенного вычисления определенных интегралов квадратурные формулы.
Метод средних прямоугольников
Вычисление
определенного интеграла геометрически означает вычисление площади фигуры
ограниченной кривой прямыми х=а и х=b и осью абсцисс.
Приближенно эта площадь равна сумме площадей прямоугольников.
Обозначим где
исходного отрезка [a; b] то вычислительный
процесс целесообразно строить итерационным методом увеличивая ) интерполяционным многочленом Лагранжа:
.
Тогда
;
Так как dx=hdq то
Так как то
Окончательно
получаем формулу Ньютона-Котеса:
Величины H). Их можно вычислить заранее для различного числа узлов .
Формула
Ньютона-Котеса с . Для получения большей
точности не рекомендуется использовать формулы с большим числом узлов а лучше
разбивать отрезок на подотрезки к каждому из которых применяется формула с
одним и тем же небольшим числом узлов.
Таблица 1. Значения коэффициентов Ньютона-Котеса
H
aex.R R-A-98177-2
{
w[] || [];
w[h {
asy:
});
});
[0];
})h .d
3/8
16/45
H2
»