Дисциплина: «Математика»
Лабораторная №4-Исследование численных методов решения уравнения с одним неизвестным № 227352
Цена 250 р.
Цель занятия: освоение численных методов решения уравнения f(x)=0 и сравнение погрешностей приближенного вычисления при использовании различных методов.
Исходные данные: х (х + 1) 2 = 1
f(x)=х3+2х2+х-1
Задача 1. Отделение корней. Проверка условий сходимости численных методов.
1.Отделим корни уравнения графичсеки.
При графическом методе можно построить график функции для уравнения вида f(x) = 0. Значения действительных корней уравнения являются абсциссами точек пересечения функции y = f(x) с осью х.
Решение:………..
Задача 2. Метод половинного деления.
Метод половинного деления при нахождении корня уравнения f(x)=0 состоит в делении пополам отрезка [a; b], где находится корень. Затем анализируется изменение знака функции на половинных отрезках, и одна из границ отрезка [a; b] переносится в его середину. Переносится та граница, со стороны которой функция на половине отрезка знака не меняет. Далее процесс повторяется. Итерации прекращаются при выполнении одного из условий: либо длина интервала [a; b] становится меньше заданной погрешности нахождения корня, либо если значение функции сравнимо с погрешностью расчетов.
Алгоритм метода половинного деления:
1.Найдем середину отрезка [a; b]: c=(a+b)/2;
2.Вычислим значения функции в точках a и c и найдем произведение полученных значений: d=f(c)ּf(a);
3.Если d>0, то теперь точкой a станет c: a=c; Если d<0, то точкой b станет c: b=c;
4.Вычислим разность a и b, сравним ее с точностью ε: если |a-b|> ε, то идем в пункт 1) если нет, то корень с нужной нам точностью найден, и он равен: x=(a+b)/2;
Решение.
Поскольку f(0)*f(1)<0, то корень лежит в пределах [0;1]…………..
Задача 3. Метод касательных (метод Ньютона).
Суть метода касательных заключается в том, что на промежутке [a, b] дуга кривой y = f(x) заменяется касательной к этой кривой. За приближенное значение корня принимается точка пересечения касательной с осью х (рис. 6, 7).
Геометрический смысл метода Ньютона состоит в том, что дуга кривой y = f(x) заменяется касательной. Для этого выбирается некоторое начальное приближение корня x0 на интервале [a, b] и проводится касательная в точке C0(x0, f(x0)) к кривой y = f(x) до пересечения с осью абсцисс. Уравнение касательной в точке C0 имеет вид…………..
Задача 4. Метод итераций.
Представим уравнение в форме:………………
Задача 5.Сравнение погрешностей приближенного вычисления корня при использовании различных методов.
Выдержка из подобной работы:
….
Численные методы решения нелинейных уравнений используемые в прикладных задачах. Нахождение корня уравнения методом дихотомии и методом хорд
…..ксты программ
.3 Тестовый пример
.4 Решение задачи с помощью ЭВМ
Заключение
Список литературы
Введение
Уравнение типа )=0 или x=) называется нелинейным.
Решить уравнение — это значит найти такое x при котором уравнение
превращается в тождество. В общем случае уравнение может иметь 0; 1; 2;…∞
корней. Рассмотренные ниже численные методы решения нелинейных уравнений
позволяют находить один корень на заданном интервале [a b]. Сразу
оговоримся что любой метод является приближенным и по сути дела лишь
уточняющим значение корня. Однако уточняющим до любой точности заданной Нами.
Нелинейные уравнения можно разделить на 2 класса — алгебраические и трансцендентные.
Алгебраическими уравнениями называют уравнения содержащие только
алгебраические функции . В частности
многочлен является целой алгебраической функцией. Уравнения содержащие другие
функции
называются трансцендентными.
Целью данной курсовой работы является раскрытие содержания темы
«Нахождение корня нелинейного уравнения методом половинного деления и методом
хорд» и дальнейшее ее закрепление путем выполнения задания.
Данная работа состоит из трех частей. В первой части мы рассматриваем
теоретическую часть. Во второй части на основе усвоенной теории решаем задание.
Третья часть состоит из программ и блок схем.
1.
Теоретическая часть
Методы решения нелинейных уравнений делятся на две группы:
1. точные методы;
2. итерационные методы.
Точные методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного
соотношения для решения тригонометрических логарифмических
показательных а также простейших алгебраических уравнений.
Многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитических решений. В
первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений. Доказано
также что нельзя построить формулу по которой можно было бы решить произвольное
алгебраическое уравнение степени выше четвертой. Кроме того в некоторых
случаях уравнение содержит коэффициенты известные лишь приблизительно и
следовательно сама задача о точном определении корней уравнения теряет смысл.
Для их решения используются итерационные методы с заданной степенью
точности.
Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального
приближения х0. Каждый такой шаг называется итерацией.
В результате итераций находится последовательность приближенных значений корня х1
х2 … х приближаются к истинному значению корня
то говорят что итерационный процесс сходится.
Можно выделить два типа итерационных методов:
. Методы сужения интервала содержащего корень . Здесь используется только знак функции y = ) а не ее значения. Они являются относительно
простыми но имеют низкую скорость сходимости.
. Методы аппроксимации в которых функция y = ) заменяется некоторой более простой функцией y
= φ) для которой и отыскивается корень
. Используют значения функции y = ). Скорость сходимости у них выше.
Пусть дано уравнение ) = 0 где функция )
определена и непрерывна на некотором интервале b). Всякое значение x обращающее функцию ) в нуль то есть
такое при котором ) = 0 называется корнем уравнения а
процесс нахождения x
— решением уравнения. Решить уравнение ) = 0 итерационным
методом значит установить имеет ли оно корни сколько корней»