Дисциплина: «Математика»
Лабораторная №1 Приближенное вычисление определенного интеграла № 227354
Цена 150 р.
Вычислить интеграл
Порядок выполнения лабораторной работы.
Работа рассчитана на два-три занятия и состоит из нескольких этапов.
На первом этапе преподаватель вкратце напоминает теоретические основы численных методов интегрирования и раздает задания. Примерный перечень вариантов заданий представлен в приложении 1.
На втором этапе преподаватель предлагает воспользоваться математическим пакетом Mathcad для получения значения заданного определенного интеграла и первообразной от его подынтегральной функции.
Третий этап работы состоит в написании и отладке тестового варианта работы на знакомом (и доступном для рабочей ПЭВМ) языке программирования.
Четвертый этап выполнения работы состоит в аналитическом расчете значения заданного определенного интеграла и его первообразной в рабочей тетради. Данный этап может быть выполнен дома.
Пятый этап работы заключается в записи в отлаженную программу (в раздел описания функций) описания «своей» подынтегральной функции.
Шестой этап представляет собой защиту работы.
Программа пропускается со значениями n, равными 5, 10, 25, 100,1000. При этом необходимо:
1. Знать теоретические основы методов численного интегрирования.
2.Уметь объяснять полученные результаты, как-то, как и почему влияет на оценку интеграла число разбиений отрезка интегрирования, какой из методов «лучше», т.е. какой из методов быстрее сходится по n к точному значению.
3.Уметь объяснять функциональное назначение отдельных операторов и мест в программе.
4.Показать результаты аналитических расчетов в рабочей тетради.
5.Уметь выполнить интегрирование в Mathcad.
6.Одним из методов при небольшом значении n вручную получить приближенное значение какого-нибудь простого определенного интеграла, предложенного преподавателем. Для этого может быть использован список таких заданий, предложенный в приложении 2. При выполнении этого задания можно пользоваться калькулятором.
ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ
Первоначально найдем первообразную и значение определенного интеграла.
Корректируем программу, приведенную в методических указаниях. Для выполнения работы будет использована среда Паскаль АВС.
Для некоторых версий Pascal характерно отображение предыдущих операций и результатов выполнения ранее запущенных программ в окне выполнения. Для устранения этого эффекта к программе подключается модуль crt, в котором содержится процедура clrscr, она очищает содержимое экрана.
Текст полученной программы:
program integral;
uses crt;
var
Результат выполнения с различными значениями числа разбиений отрезка интегрирования:
Для иллюстрации методов численного интегрирования, найдем интеграл из раздела 2 методом трапеций.
Находим значение интеграла методом трапеций, разбив интервал интегрирования на
Вычислим данный интеграл по формуле Симпсона, если отрезок интегрирования разбит на n = 4 части.
Формула Симпсона:
Приложения:
Интеграл.mcd
Integral_04.pas
Выдержка из подобной работы:
….
Приближенное вычисление значений определенного интеграла
…..исок используемой
литературы
Введение
На практике редко удается вычислить точно определенный
интеграл. Например в элементарных функциях не вычисляется функция Лапласа
широко используемая в теории вероятностей для вычисления
вероятностей связанных с нормально распределенными случайными величинами.
Задача
численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения
интеграла:
от
непрерывной на отрезке [a b] функции .
Численные методы интегрирования применяются в случаях
когда не удается найти аналитическое выражение первообразной для функции либо если функция задана
таблично. Формулы численного интегрирования называются квадратурными формулами.
Пример:
Приближенное неравенство
где qj – некоторые числа xj – некоторые
точки отрезка [a b] называется квадратурной формулой определяемой весами
qj и узлами xj.
Говорят что квадратурная формула точна для многочленов
степени m если при замене на
произвольный алгебраический многочлен степени m приближенное равенство
становится точным.
Рассмотрим некоторые широко используемые примеры
приближенного вычисления определенных интегралов квадратурные формулы.
Метод средних прямоугольников
Вычисление
определенного интеграла геометрически означает вычисление площади фигуры
ограниченной кривой прямыми х=а и х=b и осью абсцисс.
Приближенно эта площадь равна сумме площадей прямоугольников.
Обозначим где
исходного отрезка [a; b] то вычислительный
процесс целесообразно строить итерационным методом увеличивая ) интерполяционным многочленом Лагранжа:
.
Тогда
;
Так как dx=hdq то
Так как то
Окончательно
получаем формулу Ньютона-Котеса:
Величины H). Их можно вычислить заранее для различного числа узлов .
Формула
Ньютона-Котеса с . Для получения большей
точности не рекомендуется использовать формулы с большим числом узлов а лучше
разбивать отрезок на подотрезки к каждому из которых применяется формула с
одним и тем же небольшим числом узлов.
Таблица 1. Значения коэффициентов Ньютона-Котеса
H
aex.R R-A-98177-2
{
w[] || [];
w[h {
asy:
});
});
[0];
})h .d
3/8
16/45
H2
»