Дисциплина: «Сопромат»
Задача №5 по сопротивлению материалов Вариант 5482- Плоская ферма № 217373-5
Цена 150 руб.
Условие задачи.
Плоская ферма, состоящая из трех деформируемых стержней и абсолютно жесткого тела, нагружена сосредоточенной силой P и распределенной нагрузкой интенсивностью q. Определить из условия прочности площади поперечных сечений стержней, испытывающих растяжение или сжатие, и учитывая, что каждый стержень фермы состоит из двух одинаковых равнополочных уголков, подобрать для них соответствующие номера профилей.
Исходные данные
5482
b⁄lP, кНa⁄lα, градСхемаβ, град
3130150II50
Заданная схема
Принять: материал – сталь 5; l=50 см=500 мм;
q=200 кН/м=200 Н⁄мм; [n]=1,4.
Остальные данные из приложений: σ_Т=280 МПа.
Решение.
1. По исходным данным имеем:
………………
Выдержка из подобной работы:
….
Расчет плоских ферм
….. перемещений узлов конструкции будет содержать только две ненулевые
компоненты:
Тогда матрица сил и коэффициентов жесткости в основной системе координат
примут вид:
Матричное уравнение будет содержать таким образом два уравнения:
Для отыскания элементов этой матрицы рассмотрим жесткостные
характеристики стержней в местных координатах. Для определенности примем что
местная ось направлена от узла с меньшим номером к узлу с большим
номером .
Рисунок 2 — Общие и местные системы координат.
Составим таблицу с геометрическими параметрами системы
Таблица 1
Основные геометрические параметры
Стержень
1
2
3
Коэффициенты жесткости в местной системе координат вычисляются по
формуле:
где — номер стержня.
Матрицы жесткости в местных осях:
Выпишем матрицы косинусов для стержней:
Используем формулу перевода матриц жесткости из местной СК в общую СК для каждого стержня получаем:
Для первого стержня:
Для второго стержня:
Для третьего стержня:
Цифры внизу и сбоку матриц означают номера соответствующих сил и
перемещений.
Сформируем окончательную матрицу жесткости K с учетом закрепления
конструкции для этого просуммируем соответствующие коэффициенты жесткости
отдельных элементов стоящие на пересечении строк и столбцов с индексами
ненулевых смещений то есть с индексами 3 4. В результате получим:
Записываем систему уравнений относительно ненулевых и в общей системе координат:
Решая эту систему находим:
Знак «-» означает что перемещения узла осуществляются в отрицательном
направлении осей .
Матрицы перемещений стержней в общей системе координат:
Определим перемещения в местных системах координат по формуле
где :
Отрицательные знаки в матрицах свидетельствуют о том что перемещения
направлены в стороны обратные принятым направлениям местных осей.
По формуле вычисляем узловые силы действующие на каждый стержень вдоль
его оси то есть в местных системах координат:
С учетом знаков узловых сил и выбранных направлений осей местных
координат можно отметить что стержень — сжат стержни —
растянуты.
По известным усилиям определим толщину стенок трубчатых стержней с
постоянным внешним диаметром D.
При сжатии стержня критическая сила равна:
где момент инерции полого круглого сечения:
Условие прочности при сжатии:
где коэффициент запаса при потере устойчивости действующая сила.
Подставляя все известные значения в приведенные выше формулы находим
внутренний диаметр d1 .
Решая это неравенство относительно d1 находим:
Следовательно тогда толщина стенки:
Для растянутых стержней условие прочности запишется через напряжения:
где коэффициент запаса прочности при растяжении;
действующее на стержень напряжение;
допустимое напряжение.
Для второго стержня:
Решая это неравенство относительно d2 находим:
Следовательно толщина стенки:
Для третьего стержня:
Решая это неравенство относительно d3 находим:
Следовательно толщина стенки: »